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Differentiation von Matrizen und Determinanten

Original post is here eklausmeier.goip.de/blog/2024/02-07-differentiation-von-matrizen-und-determinanten.


Wie differenziert man Determinanten, die von einem Parameter abhängen?

1. Satz: Voraussetzungen: Es seien $a_{ij}(\lambda)$ differenzierbare Funktionen. Es sei

$$ \def\multisub#1#2{{\textstyle\mskip-3mu{\scriptstyle1\atop\scriptstyle#2_1}{\scriptstyle2\atop\scriptstyle#2_2}{\scriptstyle\ldots\atop\scriptstyle\ldots}{\scriptstyle#1\atop\scriptstyle#2_#1}}} \def\multisup#1#2{{\textstyle\mskip-3mu{\scriptstyle#2_1\atop\scriptstyle1}{\scriptstyle#2_2\atop\scriptstyle2}{\scriptstyle\ldots\atop\scriptstyle\ldots}{\scriptstyle#2_{#1}\atop\scriptstyle#1}}} \def\multisubsup#1#2#3{{\textstyle\mskip-3mu{\scriptstyle#3_1\atop\scriptstyle#2_1}{\scriptstyle#3_2\atop\scriptstyle#2_2}{\scriptstyle\ldots\atop\scriptstyle\ldots}{\scriptstyle#3_{#1}\atop\scriptstyle#2_{#1}}}} A(\lambda) = \left|\matrix{ a_{11}(\lambda) & \ldots & a_{1n}(\lambda)\cr \vdots & \ddots & \vdots\cr a_{n1}(\lambda) & \ldots & a_{nn}(\lambda)\cr }\right| = \det(a_1,\ldots,a_n), $$

ferner

$$ \alpha\multisubsup rik = (-1)^{i_1+\cdots+i_r + k_1+\cdots+k_r} A\multisubsup r{i'}{k'}, $$

insbesondere $\displaystyle{ \alpha_i^j = (-1)^{i+j} A_{1\ldots\widehat\imath\ldots n}^{1\ldots\widehat\jmath\ldots n}. }$

Behauptung:

$$ \displaystyle{{\partial\over\partial\lambda}A = (\alpha_{11},\ldots,\alpha_{nn}) \pmatrix{a_{11}'\cr \vdots\cr a_{nn}'\cr} = \sum_{i,j=1}^n \alpha_i^j a_{ij}' } = \sum_{i=1}^n \det(a_1,\ldots,a_{i-1},a_i',a_{i+1},\ldots,a_n) $$

Beweis: Entwickelt man $A(\lambda)$ nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz nach der $i$-ten Zeile, so erkennt man $\partial A/\partial(a_{ij}) = \alpha_i^j$. Anwenden der Kettenregel liefert die mittleren Identitäten. Die letzte Identität ist nur eine Umsortierung der vorherigen (Laplacescher Entwicklungssatz rückwärts gelesen).     ☐

Man vgl. auch Bourbaki (1976): "Éléments de mathématique: Fonctions d'une variable réelle -- Théorie élémentaire", Hermann, Paris, 1976, 54+38+69+46+55+31+38 S. = 331 S.

2. Die Jacobimatrizen einiger Matrizenfunktionen, wie Spur, Determinante, Matrizenprodukt.

Es sei $y=f(x_{11},\ldots,x_{1n},x_{21},\ldots,x_{2n},\ldots,x_{m1},\ldots,x_{mn})$ eine reelle Funktion in $mn$ Veränderlichen, also $y=f(X)$. Es bezeichne

$$ {dy\over dX} := \left(\partial y\over\partial x_{ij}\right) _{\scriptstyle{i=1,\ldots,m}\atop\scriptstyle{j=1,\ldots,n}} . $$

Im Falle $X=(x_1,\ldots,x_n)$ ist ${{dy\over dX}=\nabla y}$.

3. Satz: (1)     $\displaystyle{{d{\mskip 5mu}ax\over dx} = a}$,     $\displaystyle{{d{\mskip 5mu}x^\top Ax\over dx} = 2Ax}$,     ($A=A^\top$).

(2)     $\displaystyle{{d{\mskip 5mu}\ln\det X\over dX} = (X^\top)^{-1}}$,     $\displaystyle{{d{\mskip 5mu}\det X\over dX} = (\det X)^{-1} (X)^{-1}}$.

(3)     $\def\tr{\mathop{\rm tr}}\displaystyle{{d{\mskip 5mu}\tr X^{-1}A\over dX} = -(X^{-1} A X^{-1})^\top}$.

Beweis: (1) ist klar. Bei (2) beachte man

$$ {\partial\over\partial x_{ij}}\det X = \alpha_i^j = (-1)^{i+j} X_{1\ldots\hat\imath\ldots n}^{1\ldots\hat\jmath\ldots n} $$

entsprechend

$$ {\partial\over\partial x_{ij}}\ln\det X = {1\over\det X} \alpha_i^j. $$

Zu (3): Es gelten

$$ {d{\mskip 3mu}X^{-1}\over dx_{ij}} = -X^{-1} E_{ij} X^{-1}, \qquad \tr E_{ij} B = b_{ji}, \qquad {d{\mskip 3mu}\tr B\over dx} = \tr{dB\over dx}. $$

    ☐